【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,.
(1)求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程;
(2)討論函數(shù)的極小值;
(3)若對(duì)任意的,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)求出在處的導(dǎo)數(shù)即得切線(xiàn)的斜率;求出切點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)斜式方程求得切線(xiàn)方程;(2)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域的關(guān)系得到其單調(diào)性,找出極小值點(diǎn),求得極小值;(3)對(duì)任意的,總存在,使得成立,等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值,分別求出的最小值和的最小值,得到的范圍.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>,
所以,即切線(xiàn)的斜率為.
又,則切點(diǎn)坐標(biāo)為,
故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為,
即.
(2),
,又的定義域,
∴當(dāng)時(shí),令,或,
令,,
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
∴的極小值為,
當(dāng)時(shí),,
綜上,.
(3)對(duì)任意的,總存在,
使得成立,等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值,
當(dāng)時(shí),,
在上遞減,,
由(2)知,在上遞增,
,
∴,即,又,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形中,已知,,點(diǎn)在軸上,,且對(duì)角線(xiàn).
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若點(diǎn)是直線(xiàn)上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩切線(xiàn),為切點(diǎn),直線(xiàn)是否恒過(guò)一定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)的面積為時(shí),求直線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線(xiàn)型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線(xiàn)型公路,記兩條相互垂直的公路為,山區(qū)邊界曲線(xiàn)為,計(jì)劃修建的公路為,如圖所示,為的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)到的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)到的距離分別為20千米和2.5千米,以所在的直線(xiàn)分別為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,假設(shè)曲線(xiàn)符合函數(shù)(其中為常數(shù))模型.
(1)求的值;
(2)設(shè)公路與曲線(xiàn)相切于點(diǎn),的橫坐標(biāo)為.
①請(qǐng)寫(xiě)出公路長(zhǎng)度的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出其定義域;
②當(dāng)為何值時(shí),公路的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校90名專(zhuān)職教師的年齡狀況如下表:
年齡 | 35歲以下 | 35~50歲 | 50歲以上 |
人數(shù) | 45 | 30 | 15 |
現(xiàn)擬采用分層抽樣的方法從這90名專(zhuān)職教師中抽取6名老、中、青教師下鄉(xiāng)支教一年.
(Ⅰ)求從表中三個(gè)年齡段中分別抽取的人數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的6個(gè)教師中再隨機(jī)抽取2名到相對(duì)更加邊遠(yuǎn)的鄉(xiāng)村支教,計(jì)算這兩名教師至少有一個(gè)年齡是35~50歲教師的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在長(zhǎng)方體中,,是棱上的一點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:;
(3)若是棱的中點(diǎn),在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出線(xiàn)段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,且在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為1?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,橢圓的離心率為, 是橢圓的右焦點(diǎn), 的斜率為, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與交于, 兩點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中國(guó)好聲音()》是由浙江衛(wèi)視聯(lián)合星空傳媒旗下?tīng)N星制作強(qiáng)力打造的大型勵(lì)志專(zhuān)業(yè)音樂(lè)評(píng)論節(jié)目,于2012年7月13日在浙江衛(wèi)視播出.每期節(jié)目有四位導(dǎo)師參加.導(dǎo)師背對(duì)歌手,當(dāng)每位參賽選手演唱完之前有導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身,則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師的團(tuán)隊(duì)中接受指導(dǎo)訓(xùn)練.已知某期《中國(guó)好聲音》中,6位選手唱完后,四位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的情況如下表所示:
導(dǎo)師轉(zhuǎn)身人數(shù)(人) | 4 | 3 | 2 | 1 |
獲得相應(yīng)導(dǎo)師轉(zhuǎn)身的選手人數(shù)(人) | 1 | 2 | 2 | 1 |
現(xiàn)從這6位選手中隨機(jī)抽取兩人考查他們演唱完后導(dǎo)師的轉(zhuǎn)身情況.
(1)請(qǐng)列出所有的基本事件;
(2)求兩人中恰好其中一位為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師不少于3人,而另一人為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師不多于2人的概率.
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