【題目】在四邊形中,已知,,點(diǎn)在軸上,,且對角線.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)若點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩切線,為切點(diǎn),直線是否恒過一定點(diǎn)?若是,請求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
【答案】(1).(2)直線恒過定點(diǎn)
【解析】試題分析:(1)設(shè)點(diǎn) ,則點(diǎn),利用 ,可得 的坐標(biāo),再利用 即可得結(jié)論;(2)對函數(shù) 求導(dǎo)即可得切線的斜率,設(shè)切點(diǎn) ,可得切線方程為 ,設(shè)點(diǎn),由于切線過點(diǎn) ,得 ,設(shè)點(diǎn),則是方程的兩 個(gè)實(shí)數(shù)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可點(diǎn)的坐標(biāo),求出斜率, 即可得到直線 的方程,可得到定點(diǎn)。
(1)設(shè)點(diǎn) ,則,∴,.
∵,∴,即.
(2)對函數(shù)求導(dǎo)數(shù).
設(shè)切點(diǎn),則過該切點(diǎn)的切線的斜率為,
∴切線方程為.
設(shè)點(diǎn),由于切線經(jīng)過點(diǎn),∴.
化為.
設(shè)點(diǎn),.
則是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴,
,設(shè)為中點(diǎn),∴.
∴
∴點(diǎn)
又∵
∴直線的方程為,即(*)
∴當(dāng)時(shí),方程(*)恒成立.
∴對任意實(shí)數(shù),直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的左焦點(diǎn)為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 為直線上一點(diǎn),過作的垂線交橢圓于, .當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),求四邊形的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
“健步走”是一種方便而又有效的鍛煉方式,李老師每天堅(jiān)持“健步走”,并用計(jì)步器進(jìn)行統(tǒng)計(jì).他最近8天“健步走”步數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖及相應(yīng)的消耗能量數(shù)據(jù)表如下:
(I)求李老師這8天“健步走”步數(shù)的平均數(shù);
(II)從步數(shù)為16千步,17千步,18千步的6天中任選2天,設(shè)李老師這2天通過“健步走”消耗的能量和為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,短軸長為2,為原點(diǎn),直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且的面積是的面積的3倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若在橢圓上存在點(diǎn),使為平行四邊形,求取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形,PD⊥平面ABCD,M為PC中點(diǎn).
(1)求證:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求證:BD⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,A(-3,-10),
B (-2,-1),C(3,4),
(1)求邊AD和CD所在的直線方程;
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)在直線CD上,求證為等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知曲線(為參數(shù)),在以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線,曲線.
(1)求曲線與的交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn), 分別為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意, 恒成立,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),,.
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的極小值;
(3)若對任意的,總存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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