Question

橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),為橢圓的上頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為.點(diǎn)是橢圓上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）若把直線的斜率分別記作，求證：；

 (III) 是否存在點(diǎn)使，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

解: （I）由題意，可設(shè)橢圓C的方程為,則，，

所以，，                     

  所以橢圓C的方程為.                    

   （II）由橢圓C的方程可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,

    設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知,

    直線的斜率，直線的斜率,

    所以 ,                        

  因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

    所以,即,                

    所以                           

  （III）設(shè)直線的方程為，

   令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,           

   設(shè)直線的方程為，

   令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,         

   由橢圓方程可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為,

   由，得,

   由題意，可得

整理得,                                  

   與聯(lián)立,消可得,

   解得或 ,                              

   所以直線的直線方程為或,

   因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/03/03/00/2015030300244771228574.files/image214.gif'>與橢圓交于上頂點(diǎn)，不符合題意.

   把代入橢圓方程,得,

   解得或,                                     

   因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/03/03/00/2015030300244771228574.files/image219.gif'>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.              

 說明：解答題有其它正確解法的請(qǐng)酌情給分.