Question

11．已知函數(shù)y=f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意a、b∈R，都有f（ab）=f（a）+f（b），且當x＞1時，f（x）＞0恒成立．
（1）求證f（1）=0，
（2）證明：y=f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
（3）求不等式f（x+1）＜f（2-3x）的解集．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=1，即可求f（1）；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解．

解答 解：（1）令a=b=1，則f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（ab）=f（a）+f（b），
∴f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂），
則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
（3）∵y=f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴不等式f（x+1）＜f（2-3x）等價為$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{2-3x＞0}\\{x+1＜2-3x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜\frac{2}{3}}\\{x＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜$\frac{1}{4}$，
即不等式的解集為（-1，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，訓練了特值法求函數(shù)的值，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，屬中檔題．