Question

1．已知函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{1+2x}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（3）求出f（x）的最小值；
（4）解方程：x+$\sqrt{1+2x}$=x²-1+$\sqrt{2{x}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 （1）使原函數(shù)有意義，需滿足1+2x≥0，這樣便可得出該函數(shù)的定義域；
（2）x增大時(shí)，可看出f（x）增大，從而看出f（x）在定義域上為增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性定義證明：設(shè)${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，然后作差，證明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（3）根據(jù)f（x）在$[-\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減，從而便可得出f（x）的最小值為f$（-\frac{1}{2}）$；
（4）可對原方程進(jìn)行移項(xiàng)及分子有理化，便可得到方程$（{x}^{2}-x-1）（1+\frac{2}{\sqrt{2{x}^{2}-1}+\sqrt{1+2x}}）=0$，從而得到x²-x-1=0，解該方程，并根據(jù)x的范圍便可得出該方程的解．

解答 解：（1）使f（x）有意義則：1+2x≥0；
∴$x≥-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的定義域?yàn)?[-\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）可看出f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}+\sqrt{1+2{x}_{1}}）-（{x}_{2}+\sqrt{1+2{x}_{2}}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}）$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}≥-\frac{1}{2}$；
∴x₁-x₂＞0，1$+\frac{2}{\sqrt{1+2{x}_{1}}+\sqrt{1+2{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（3）根據(jù)（2）知f（x）在[$-\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最小值為$f（-\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{2}$；
（4）由原方程得：$-{x}^{2}+x+1=\sqrt{2{x}^{2}-1}-\sqrt{1+2x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x-2}{\sqrt{2{x}^{2}-1}+\sqrt{1+2x}}$；
∴$（{x}^{2}-x-1）（1+\frac{2}{\sqrt{2{x}^{2}-1}+\sqrt{1+2x}}）=0$；
∴x²-x-1=0；
解得$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
由$\left\{\begin{array}{l}{1+2x≥0}\\{2{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得，$x≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)定義域的概念及求法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性及證明函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差比較f（x₁），f（x₂）的方法，分子有理化，以及解一元二次方程．