已知數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{
Sn
n
}是首項(xiàng)為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列．
（1）設(shè)bn=
4
15
•（-2）n（n∈N*），對(duì)任意的正整數(shù)k，將集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為dk，求證：數(shù)列{dk}為等比數(shù)列；
（2）對(duì)（1）題中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由數(shù)列{
Sn
n
}是首項(xiàng)為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列求出其通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，代入bn=
4
15
•(-2)an，得到bn，求出b2k-1，b2k，b2k+1，
由2b2k-1=b2k+b2k+1 及b2k＜b2k-1＜b2k+1，得b2k，b2k-1，b2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，再求出公差dk，由等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{dk}為等比數(shù)列；
（2）解：分k為奇數(shù)和k為偶數(shù)利用二項(xiàng)式定理展開dk與dk+1，可得k為奇數(shù)時(shí)，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為
3(4k+1)
5
；k為偶數(shù)時(shí)，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為
3(4k-1)
5
．
解答： （1）證明：∵數(shù)列{
Sn
n
}是首項(xiàng)為0，公差為
1
2
的等差數(shù)列，
∴
Sn
n
=0+
1
2
(n-1)，即Sn=
n(n-1)
2
．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=
n(n-1)
2
-
(n-1)(n-2)
2
=n-1，
a1=0適合上式，∴an=n-1．
又bn=
4
15
•(-2)an，∴bn=
4
15
•(-2)n-1(n∈N*)，
∴b2k-1=
4
15
•(-2)2k-2，b2k=
4
15
•(-2)2k-1，b2k+1=
4
15
•(-2)2k，
由2b2k-1=b2k+b2k+1 及b2k＜b2k-1＜b2k+1，得b2k，b2k-1，b2k+1依次成遞增的等差數(shù)列．
∴dk=b2k+1-b2k-1=
4
15
•(-2)2k-
4
15
•(-2)2k-2=
4k
5
．
滿足
dk+1
dk
=4為常數(shù)，
∴數(shù)列{dk}為等比數(shù)列；

（2）解：①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，dk=
4k
5
=
(5-1)k
5
=
5k-
C
1
k
5k-1+
C
2
k
5k-2-…+(-1)k
5

=5k-1-
C
1
k
5k-2+
C
2
k
5k-3-…-
1
5
．
同樣可得：dk+1=
4k+1
5
=
(5-1)k+1
5
=5k-
C
1
k+1
5k-1+
C
2
k+1
5k-2-…+
1
5
．
∴集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為(dk+1-
1
5
)-(dk+
1
5
)+1=dk+1-dk+
3
5
=
3(4k+1)
5
；
②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，同理可得集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為
3(4k-1)
5
．
綜上，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為
3(4k+1)
5
；
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為
3(4k-1)
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題是等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合題，考查了等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a1
=2
i
-
j
+
k
，
a2
=
j
+3
j
-2
k
，
a3
=-2
i
+
j
-3
k
，
a4
=3
i
+2
j
+5
k
，
i
，
j
，
k
是空間兩兩垂直的單位向量是否存在實(shí)數(shù)λμγ，使
a4
=λ
a1
+μ
a2
+γ
a3
成立？不存在請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=（t2+t-1）x2-2（a+t）2x+（t2+3at+b）對(duì)任何實(shí)數(shù)t都與x軸交于P（1，0）點(diǎn)，又設(shè)拋物線C與x軸的另一交點(diǎn)為Q（m，0），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}為等比數(shù)列，其中a4=2，a5=5，閱讀如圖所示的程度框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出結(jié)果為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）（0＜α＜π）．
（1）若|
OA
+
OC
|=
7
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求
OB
與
OC
的夾角；
（2）若
AC
⊥
BC
，求tanα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)無窮數(shù)列{an}，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無論多小），總存在正整數(shù)N，使得n＞N時(shí)，恒有|an-A|＜?成立，就稱數(shù)列{an}的極限為A，則四個(gè)無窮數(shù)列：
①{（-1）n×2}；
②{
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2n-1)(2n+1)
}；
③{1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
}；
④{1×2+2×22+3×23+…+n×2n}，
其極限為2共有（　　）
A、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù) M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0]上的值域，判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是否為有界函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定區(qū)間D，對(duì)于函數(shù)d=2及任意的f（x）、g（x）（其中x1＞x2），若不等式f（x1）-g（x1）＞f（x2）-g（x2）恒成立，則稱函數(shù)f（x）是相對(duì)于函數(shù)g（x）在區(qū)間上的“漸進(jìn)函數(shù)”，已知=f（x）=x2+2ax是相對(duì)于函數(shù)g（x）=x+3在區(qū)間[a，a+2]上的“漸進(jìn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)l的取值范圍是（　　）
A、a＞
1
4
B、a≤
1
4
C、a≥-
3
4
D、a≤-
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα和tanβ是一元二次方程3x2+5x-2=0的兩根根，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，求α+β的值．

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