Question

給出下列圖象，其中可能為函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象是（　�。�

• A、①③
• B、①②
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)方程的根的情況進(jìn)行討論，從而得出原函數(shù)的極值情況，再對(duì)圖象進(jìn)行篩選．

解答： 解：∵f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），
∴f′（x）=4x³+3ax²+2bx+c，
此函數(shù)相應(yīng)方程的根可能有三個(gè)或兩個(gè)或一個(gè)，下面分三種情況討論：
①若方程可能的根有一個(gè)，如a，b，c都為0時(shí)，f′（x）=0的根只有一個(gè)，故函數(shù)值先負(fù)后正，故函數(shù)的圖象是先減后增，符合條件的只有①．
②若方程可能的根有兩個(gè)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)圖象必是先減后增再減型，與題意不符，
③若方程的根有三個(gè)，則函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性是先減后增再減再增型，考察②③④得③符合條件
綜上討論知，①③中的圖象可能是函數(shù)的圖象，
故答案為①③，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究函數(shù)時(shí)，主要的方法是通過研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)與原函數(shù)的極值情況結(jié)合，從而更易得到函數(shù)的單調(diào)情況．