Question

已知橢圓的離心率為，且曲線過點
（1）求橢圓C的方程．（2）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點不在圓內(nèi)，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，∴，∴a²=2b²①
曲線過，則②
由①②解得，則橢圓方程為．
（2）聯(lián)立方程，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得③
，，
即AB的中點為
又∵AB的中點不在內(nèi)，
∴
解得，m≤-1或m≥1④
由③④得：＜m≤-1或1≤m＜．
分析：（1）根據(jù)離心率為，a²=b²+c²得到關于a和b的一個方程，曲線過點，把點代入方程即可求得橢圓C的方程；
（2）直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理求得AB的中點坐標，再根據(jù)該點不在圓內(nèi)，得到該點到圓心的距離≥半徑，求得m的取值范圍．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線等基礎知識，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力，直線與圓錐曲線相交問題，易忽視△＞0，屬中檔題．