Question

如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且＝，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，·＝0.

(1)求橢圓的離心率；

(2)若△ABF1的周長為，求橢圓的方程．

 

Answer 1

（1）（2）＝1.

【解析】(1)設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，A(x0，y0)，橢圓的離心率為e，則M，x0＝c.

∵＝e，∴|AF1|＝a＋ex0.同理，|AF2|＝a－ex0.

∵·＝0，∴AF1⊥AF2，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，

∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2,即a2＋e2＝2c2.

∵x0＝c，∴a2＋e2·c2＝2c2,∴1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0，

∴e2＝或2(舍)，∴橢圓的離心率e＝.

(2)∵△ABF2的周長為4，∴4a＝4，∴a＝.又＝，∴c＝2,∴b2＝2.

∴橢圓方程為＝1.