【題目】已知拋物線()的焦點(diǎn)為,以拋物線上一動點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)F.若圓的面積最小值為.

(Ⅰ)的值;

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時,過作拋物線的兩條弦,且滿足.若直線AB恰好與圓相切,求直線AB的方程.

【答案】(1);(2).

【解析】分析(Ⅰ)由拋物線的性質(zhì)知,當(dāng)圓心位于拋物線的頂點(diǎn)時,圓的面積最小,由可得的值;(Ⅱ)依橫坐標(biāo)相等可得,軸,,設(shè)(),則直線的方程為,代入拋物線的方程得,利用韋達(dá)定理求出的坐標(biāo),同理求出的坐標(biāo),求出的斜率為定值,設(shè)直線的方程為,由圓心到直線的距離等于半徑,列方程解得,從而可得直線的方程.

詳解(Ⅰ)由拋物線的性質(zhì)知,當(dāng)圓心位于拋物線的頂點(diǎn)時,圓的面積最小,

此時圓的半徑為,∴,解得.

(Ⅱ)依題意得,點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),圓的半徑為2.

(1,0)知,軸.

知,弦,所在直線的傾斜角互補(bǔ),∴.

設(shè)(),則直線的方程為,∴

代入拋物線的方程得,,∴,

.

換成,得,

.

設(shè)直線的方程為,即.

由直線與圓相切得,,解得.

經(jīng)檢驗不符合要求,故舍去.

∴所求直線的方程為.

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(2)過點(diǎn)的直線交于,與交于,求證:

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