Question

【題目】已知函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，那么在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)，關(guān)于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4個(gè)不同的根，則k的取值范圍是

Answer 1

【答案】（- ， 0）
【解析】解：∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，∴f（0）=0，
∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），
∴函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
令x=﹣2，則f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，
即2f（2）=0，則f（2）=0，
即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期數(shù)列，
若x∈[﹣1，0]，則﹣x∈[0，1]時(shí)，
此時(shí)f（﹣x）=﹣x=f（x），
∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，
令y=kx+k+1，則化為y=k（x+1）+1，即直線y=k（x+1）+1恒過M（﹣1，1）．
作出f（x），x∈[﹣1，3]的圖象與直線y=k（x+1）+1，
如圖所示，由圖象可知當(dāng)直線介于直線MA與MB之間時(shí)，
關(guān)于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4個(gè)不同的根，
又∵kMA=0，kMB=- ，
∴-＜k＜0．
所以答案是：（- ， 0）．