Question

已知直線l：y=kx+b，曲線M：y=|x²-2|．
（1）若k=1，直線與曲線恰有三個公共點，求實數b的值；
（2）若b=1，直線與曲線M的交點依次為A，B，C，D四點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）分兩種情況：①直線y=x+b與拋物線y=-x²+2在（-，）內相切；②直線y=x+b過點（-，0），即可確定實數b的值；
（2）根據直線y=kx+1與曲線M有四個交點確定k的范圍，由，計算|AD|；由，計算|BC|，利用，即可求得結論．
解答：解：（1）分兩種情況：
①直線y=x+b與拋物線y=-x²+2在（-，）內相切，即方程x²+x+b-2=0在（-，）內有△=0，
由△=1-4b+8=0，得，符合．
②直線y=x+b過點（-，0），即0=-+b，得．
綜上知，或
（2）根據直線y=kx+1與曲線M有四個交點可得
由，得x²-kx-3=0，
則有：，其中．
由，得x²+kx-1=0，
則有：，其中．
所以
=（k²+1）（k²+12）-（k²+1）（k²+4）=8（k²+1），
∵，∴8（k²+1）∈[8，12），
∴
點評：本題考查帶絕對值的函數，考查直線與曲線的位置關系，考查向量知識的運用，正確轉化是關鍵．