Question

【題目】【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，<0，單調(diào)遞減；當(dāng)時，>0，單調(diào)遞增；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對求導(dǎo)，對進行討論，研究的正負(fù)，可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）要證明不等式在上恒成立，基本方法是設(shè)，當(dāng)時，，的解不易確定，因此結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論，縮小的范圍，設(shè)=，并設(shè)=，通過研究的單調(diào)性得時，，從而，這樣得出不合題意，又時，的極小值點，且，也不合題意，從而，此時考慮得，得此時單調(diào)遞增，從而有，得出結(jié)論．

試題解析：（I）

<0，在內(nèi)單調(diào)遞減.

由=0，有.

此時，當(dāng)時，<0，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，>0，單調(diào)遞增.

（II）令=，=.

則=.

而當(dāng)時，>0，

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

又由=0，有>0，

從而當(dāng)時，>0.

當(dāng)，時，=.

故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有.

當(dāng)時，>1.

由（I）有,從而，

所以此時>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.

當(dāng)時，令，

當(dāng)時，，

因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.

又因為，所以當(dāng)時， ，即 恒成立.

綜上，．