設橢圓 (a>b>0)的左頂點為A,若橢圓上存在一點P,使∠OPA= (O為原點),求橢圓離心率的取值范圍.
橢圓離心率的范圍是(,1).
如圖,設P(x,y),由∠OPA=知點P在以AO為直徑的圓上,
即.
聯(lián)立方程組消去y,得
(a2-b2)x2+a3x+a2b2=0.
解之,得x=-a或.
當x=-a時,P與A重合,不滿足題意,舍去.
故P點的橫坐標為.
又∵,∴a2>2b2,即a2>2(a2-c2).
∴,.
又∵0<e<1,
∴1,即橢圓離心率的范圍是(,1).
練習冊系列答案
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（1）求橢圓離心率的范圍；
（2）求證：的面積只與橢圓的短軸長有關．

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