Question

已知傾斜角為

π

6

，過點(diǎn)P（1，1）的直線l與曲線C：

x=2sinα y=2+2cosα

（α是參數(shù)）相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）依題意，得直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

（t為參數(shù)），利用sin²α+cos²α=1即可把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程．
（II）把直線的參數(shù)方程代入圓的方程可得t2+(

3

-1)t-2=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、直線參數(shù)的意義即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，得直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

（t為參數(shù)），
即

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t.

（t為參數(shù)）…①
∵曲線C的參數(shù)方程為

x=2sinα y=2+2cosα

，
∴曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4．…②
（Ⅱ）把①代入②得(1+

3

2

t)2+(

1

2

t-1)2=4，
∴t2+(

3

-1)t-2=0，
∴△=(

3

-1)2+8＞0，t₁t₂=-2，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．