Question

11．若f（x）=x²+bx+c，且f（-1）=0，f（3）=0．
（1）求b與c的值．
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0和f（3）=0便可得到關(guān)于b，c的二元一次方程組，解方程組便可得到b，c的值；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＜x₂＜1，然后作差，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂），這樣便可得出f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)．

解答 解：（1）根據(jù)條件得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$；
∴b=-2，c=-3；
（2）證明：f（x）=x²-2x-3；
設(shè)x₁＜x₂＜1，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{2}$=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）；
∵x₁＜x₂＜1；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0；
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查已知函數(shù)求值的方法，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差比較f（x₁），f（x₂）的方法，作差后一般要提取公因式x₁-x₂．