Question

3．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在以A（0，b）為直角頂點且內接于橢圓E的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又c²=a²-b²，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，聯立解出即可得出．
（2）假設存在這樣的等腰直角三角形BAC．直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為AB：y=kx+1（k＞0），則直線AC的方程為$AC：y=-\frac{1}{k}x+1$．將AC的方程代入橢圓x²+4y²-4=0得（1+4k²）x²+8kx=0，利用弦長公式及其△ABC是等腰直角三角形，|AB|=|AC|，解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又c²=a²-b²，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，
聯立解得a²=4，b²=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）假設存在這樣的等腰直角三角形BAC．
明顯直線AB的斜率存在，∵A點的坐標為A（0，1），
設直線AB的方程為AB：y=kx+1（k＞0），則直線AC的方程為$AC：y=-\frac{1}{k}x+1$．
將AC的方程代入橢圓x²+4y²-4=0得（1+4k²）x²+8kx=0，
解得x=0，或$x=-\frac{8k}{{1+4{k^2}}}$，
∴B點的縱坐標為$y=-\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+1$．
∴$|AB|=\sqrt{{{（{0+\frac{8k}{{1+4{k^2}}}}）}^2}+{{（{1-（{-\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}+1}）}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8k}{{1+4{k^2}}}$．
同理$|AC|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•\frac{{\frac{8}{k}}}{{1+\frac{4}{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{{k^2}+4}}$．
∵△ABC是等腰直角三角形，∴|AB|=|AC|，即$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8k}{{1+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{{k^2}+4}}$，
即$\frac{k}{{1+4{k^2}}}=\frac{1}{{4+{k^2}}}$，
∴k³+4k=1+4k²，即k³-4k²+4k-1=0．
∴（k³-1）+4（k-1）=0，
即（k-1）（k²-3k+1）=0．
∴k=1，或k²-3k+1=0．
∴k=1，或$k=\frac{{3±\sqrt{5}}}{2}$．
∴這樣的直角三角形有三個．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、弦長公式、一元二次方程的根與系數的關系、等腰直角三角形的性質、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．