Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ；
（1）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若射線l：y=kx（x≥0）與曲線C₁，C₂的交點(diǎn)分別為A，B（A，B異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率$k∈[1，\sqrt{3}）$時(shí)，求|OA|•|OB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將C₁的參數(shù)方程化為普通方程，再華為極坐標(biāo)方程，將C₂的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出l的參數(shù)方程，分別代入C₁，C₂的普通方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|關(guān)于k的函數(shù)，根據(jù)k的范圍得出答案．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），普通方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²=2x，
極坐標(biāo)方程為C₁：ρ=2cosθ，
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=2sinθ，即ρ²cos²θ=2ρsinθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程${C_2}：{x^2}=2y$，
（2）設(shè)射線l的傾斜角為α，
則射線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，$\frac{π}{4}≤α＜\frac{π}{3}$）．
把射線l的參數(shù)方程代入曲線C₁的普通方程得：t²-2tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=2cosα．
∴|OA|=|t₂|=2cosα．
把射線l的參數(shù)方程代入曲線C₂的普通方程得：cos²αt²=2tsinα，
解得t₁=0，t₂=$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OB|=|t₂|=$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$．
∴|OA|•|OB|=2cosα•$\frac{2sinα}{co{s}^{2}α}$=4tanα=4k．
∵$k∈[1，\sqrt{3}）$，4k∈$[4，4\sqrt{3}）$，
∴|OA|•|OB|的取值范圍是$[4，4\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．