Question

17．已知定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時，$f（x）=\sqrt{x}+1$．
（1）求f（0）的值及f（x）的解析式；
（2）若f（k•4^x-1）＜f（3•4^x-2^x+1）對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）是R上的奇函數(shù)得f（0）=0．
令x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}-1$'由此能求出f（x）的解析式．
（2）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對不等式進行轉(zhuǎn)化，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答 解：（1）∵f（x）時R上的奇函數(shù)f（-x）=-f（x），∴f（0）=0．
令x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}-1$
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-\sqrt{-x}-1，x＜0}\end{array}\right.$
（2）∵f（x）時R上的奇函數(shù)，單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（k•4^x-1）＜f（3•4^x-2^x+1）對任意x∈R恒成立?k•4^x-1＜3•4^x-2^x+1
令2^x=t，t＞0，則k•4^x-1＜3•4^x-2^x+1?kt²-1＜3t²-2t⇒k＜$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{2}{t}$+3，
$\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}+3=（\frac{1}{t}-1）^{2}+2≥2$，
∴k＜2，即實數(shù)k的取值范圍為：（-∞，2）．

點評 本題考查了函數(shù)的解析式的求解，函數(shù)不等式恒成立的處理，屬于中檔題．