Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線MN交圓O于A，B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAMM，交圓0于點(diǎn)D，過(guò)D作DE上MN于E．
（I）求證：DE是圓O的切線：
（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）連結(jié)OD，易證∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD，從而可證DE是圓O的切線；
（II）由DE是圓O的切線，可得DE²=EA•EB，而DE=6，AE=3，從而可求得AB；又O到MN的距離等于D到MN的距離等于|BC|，從而可求得△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）連結(jié)OD，則OA=OD，所以∠OAD=∠ODA．
因?yàn)椤螮AD=∠OAD，所以∠ODA=∠EAD．…（2分）
因?yàn)椤螮AD+∠EDA=90°，所以∠EDA+∠ODA=90°，即DE⊥OD．
所以DE是圓O的切線．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)镈E是圓O的切線，所以DE²=EA•EB，
即6²=3（3+AB），所以AB=9．                                   …（6分）
因?yàn)镺D∥MN，
所以O(shè)到MN的距離等于D到MN的距離，即為6；
又因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，C到MN的距離等于12    …（8分）
故△ABC的面積S=AB•BC=54．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法在證明中的應(yīng)用，考查輔助線的添加，考查作圖、推理與分析、運(yùn)算的能力，屬于中檔題．