19.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),過F2作垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且|AB|=3.
(1)求橢圓的方程;
(2)過F1點(diǎn)作相互垂直的直線l1,l2,其中l(wèi)1交橢圓于P1,P2,l2交橢圓于P3,P4,求證$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$是否為定值?并求當(dāng)四邊形P1P2P3P4面積的最小值.

分析 (1)設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),由題意可得c=1,即a2-b2=1,再由弦長(zhǎng)$\frac{2^{2}}{a}$=3,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)討論若l1,l2中有一個(gè)的斜率不存在,另一條為0,易得$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$;若l1,l2的斜率都存在,且不為0,設(shè)l1:y=k(x+1),l2:y=-$\frac{1}{k}$(x+1),聯(lián)立橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,計(jì)算即可得到定值;再由基本不等式,可得|P1P2|•|P3P4|≥($\frac{24}{7}$)2=$\frac{576}{49}$,由四邊形的面積公式即可得到所求最小值.

解答 解:(1)設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),
由題意可得c=1,即a2-b2=1,
令x=c,可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$,
即有$\frac{2^{2}}{a}$=3,解得a=2,b=$\sqrt{3}$,
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1;
(2)證明:若l1,l2中有一個(gè)的斜率不存在,另一條為0,
此時(shí)$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$;
若l1,l2的斜率都存在,且不為0,設(shè)l1:y=k(x+1),l2:y=-$\frac{1}{k}$(x+1),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}(x+1)}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去x,可得(4+3k2)y2+6ky-9=0,
設(shè)P3(x3,y3),P4(x4,y4),可得y3+y4=-$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$,y3y4=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$,
|P3P4|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{(4+3{k}^{2})^{2}}+\frac{36}{4+3{k}^{2}}}$=$\frac{12(1+{k}^{2})}{4+3{k}^{2}}$,
將k換為-$\frac{1}{k}$,可得|P1P2|=$\frac{12(1+{k}^{2})}{3+4{k}^{2}}$,
則$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{4+3{k}^{2}}{12(1+{k}^{2})}$+$\frac{3+4{k}^{2}}{12(1+{k}^{2})}$=$\frac{7(1+{k}^{2})}{12(1+{k}^{2})}$=$\frac{7}{12}$,
綜上可得,$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$為定值$\frac{7}{12}$;
由$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{7}{12}$≥2$\sqrt{\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}|•|{P}_{3}{P}_{4}|}}$,
則|P1P2|•|P3P4|≥($\frac{24}{7}$)2=$\frac{576}{49}$,
可得四邊形P1P2P3P4面積S=$\frac{1}{2}$|P1P2|•|P3P4|≥$\frac{288}{49}$,
當(dāng)且僅當(dāng)|P1P2|=|P3P4|,即k=±1,面積取得最小值$\frac{288}{49}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng),考查直線方程和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式,考查四邊形面積的最值的求法,注意運(yùn)用基本不等式,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,則所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是(  )
A.y=-cos4xB.y=-cosxC.y=sin(x+$\frac{π}{4}$)D.y=-sinx

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知$\overrightarrow m$=(cosα,sinα),$\overrightarrow n$=($\sqrt{3}$,-1),α∈(0,π).
(1)若$\overrightarrow m$⊥$\overrightarrow n$,求角α的值;
(2)求|$\overrightarrow m$+$\overrightarrow n$|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.如圖所示,在三棱錐P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn),AQ=2BD,PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接GH.
(Ⅰ)求證:AB∥GH;
(Ⅱ)求異面直線DP與BQ所成的角;
(Ⅲ)求直線AQ與平面PDC所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD是等邊三角形,AD=DE=2AB=2,F(xiàn),G分別為AD,DC的中點(diǎn).
(1)求證:CF⊥平面ABED;
(2)求四棱錐C-ABED的體積;
(3)判斷直線AG與平面BCE的位置關(guān)系,并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{1}{2}$,右焦點(diǎn)F(1,0).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P在橢圓C上,且在第一象限內(nèi),直線PQ與圓O:x2+y2=b2相切于點(diǎn)M,且OP⊥OQ,求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)
耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù):
x3456
y2.5344.5
(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?
(參考數(shù)值3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
(附:$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$為樣本均值)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.曲線f(x)=ax3+2x-1在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(3,4),則a=-$\frac{1}{7}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.如圖,內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同,從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC、BD,設(shè)內(nèi)層橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0),若直線AC與BD的斜率之積為-$\frac{1}{4}$,則橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案