Question

19．已知橢圓的焦點坐標為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過F₂作垂直于長軸的直線交橢圓于A、B兩點，且|AB|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₁點作相互垂直的直線l₁，l₂，其中l(wèi)₁交橢圓于P₁，P₂，l₂交橢圓于P₃，P₄，求證$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$是否為定值？并求當四邊形P₁P₂P₃P₄面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，即a²-b²=1，再由弦長$\frac{2^{2}}{a}$=3，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）討論若l₁，l₂中有一個的斜率不存在，另一條為0，易得$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$；若l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，設l₁：y=k（x+1），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到定值；再由基本不等式，可得|P₁P₂|•|P₃P₄|≥（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$，由四邊形的面積公式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=1，即a²-b²=1，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{2^{2}}{a}$=3，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：若l₁，l₂中有一個的斜率不存在，另一條為0，
此時$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$；
若l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，設l₁：y=k（x+1），l₂：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x+1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去x，可得（4+3k²）y²+6ky-9=0，
設P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），可得y₃+y₄=-$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，y₃y₄=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
|P₃P₄|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（4+3{k}^{2}）^{2}}+\frac{36}{4+3{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得|P₁P₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
則$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{4+3{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$+$\frac{3+4{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7（1+{k}^{2}）}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$，
綜上可得，$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$為定值$\frac{7}{12}$；
由$\frac{1}{|P{{\;}_{1}P}_{2}|}$+$\frac{1}{|{P}_{3}{P}_{4}|}$=$\frac{7}{12}$≥2$\sqrt{\frac{1}{|{P}_{1}{P}_{2}|•|{P}_{3}{P}_{4}|}}$，
則|P₁P₂|•|P₃P₄|≥（$\frac{24}{7}$）²=$\frac{576}{49}$，
可得四邊形P₁P₂P₃P₄面積S=$\frac{1}{2}$|P₁P₂|•|P₃P₄|≥$\frac{288}{49}$，
當且僅當|P₁P₂|=|P₃P₄|，即k=±1，面積取得最小值$\frac{288}{49}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用垂直于對稱軸的弦長，考查直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，考查四邊形面積的最值的求法，注意運用基本不等式，屬于中檔題．