Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)F（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P在橢圓C上，且在第一象限內(nèi)，直線PQ與圓O：x²+y²=b²相切于點(diǎn)M，且OP⊥OQ，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c=1，a=2，求得B，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論當(dāng)PM垂直于x軸時(shí)，求得P，Q的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積為0，可得t；當(dāng)PM不垂直于x軸時(shí)，設(shè)P（x₀，y₀），PQ：y-y₀=k（x-x₀），運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，
解得a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）當(dāng)PM垂直于x軸時(shí)，可得P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（$\sqrt{3}$，t），
由OP⊥OQ，即有$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=0，解得t=-2$\sqrt{3}$；
當(dāng)PM不垂直于x軸時(shí)，設(shè)P（x₀，y₀），
PQ：y-y₀=k（x-x₀），即為kx-y-kx₀+y₀=0，
由PQ與圓O：x²+y²=3相切，可得$\frac{|{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
平方可得（kx₀-y₀）²=3（1+k²），即2kx₀y₀=k²x₀²+y₀²-3k²-3，
又Q（$\frac{t-{y}_{0}+k{x}_{0}}{k}$，t），
由OP⊥OQ，即有$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₀•$\frac{t-{y}_{0}+k{x}_{0}}{k}$+ty₀=0，
解得t=$\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-k{x}_{0}）}{{x}_{0}+k{y}_{0}}$，
則t²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}}{（{x}_{0}+k{y}_{0}）^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（3+3{k}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{y}_{0}}^{2}+2k{x}_{0}{y}_{0}}$
=$\frac{{{3x}_{0}}^{2}（1+{k}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{k}^{2}{{y}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3（1+{k}^{2}）}$
=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}（1+{k}^{2}）}{（1+{k}^{2}）（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3）}$=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-3}$
=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+3（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）-3}$=12，
解得t=$±2\sqrt{3}$．
綜上可得，t=-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查直線和圓相切的條件：d=r，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．