Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+x．
（1）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求所有的實數(shù)a，使得對任意x∈[1，4]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=x+4圖象的下方．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=3時，函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+x=x|x﹣3|+x=

x≥3時，f（x）=x2﹣2x是增函數(shù)，x＜3時，f（x）=4x﹣x2，開口向下，對稱軸為：x=2，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（﹣∞，2），（3，+∞）

（2）解：∵對任意x∈[1，4]，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=x+4圖象的下方，

∴x|x﹣a|+x＜x+4對任意x∈[1，4]，恒成立，

∴x|x﹣a|＜4，∴|x﹣4|＜ ，

∴ ，

即 對任意x∈[1，4]，恒成立，

令g（x）=x+ ，則g（x）在[1，2]遞減，在[2，4]遞增，所以g（x）min=g（2）=4，

所以a＜4，

h（x）=x﹣ ，則h（x）在x∈[1，4]，上為增函數(shù)，所以h（x）max=h（4）=3，所以a＞3，

∴3＜a＜4

【解析】（1）本小題將含有絕對值的函數(shù)去掉絕對值以后變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，然后求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將“函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=x+4圖象的下方”轉(zhuǎn)化為含絕對值的不等式問題進行求解.