【題目】定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù)f(x)滿足當0<x≤1時,f(x)= ,
(1)求f(x)在[﹣1,1]上的解析式;
(2)判斷并證明f(x)在[﹣1,0)上的單調性;
(3)當x∈(0,1]時,方程 ﹣2x﹣m=0有解,試求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:設x∈[﹣1,0),則﹣x∈(0,1],

f(﹣x)= = ,

∵f(x)是奇函數(shù),

∴f(﹣x)=﹣f(x),

∴f(x)=﹣ ,

∴f(x)=


(2)解:設﹣1<x1﹣x2<0,

∴f(x1)﹣f(x2)=﹣ + = ,

∵x1<x2,∴ <0,﹣2<x1+x2<0,

﹣1<0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,

∴f(x)在[﹣1,0)遞減


(3)解:方程 ﹣2x﹣m=0有解,

即m=4x+1﹣2x在(0,1]上有解,

令2x=t,t∈(1,2],

t2﹣t+1∈(1,3],

∴m∈(1,3]


【解析】1、本題考查的是函數(shù)奇偶性的應用以及解析式的求法。
2、本題考查的是用定義證明函數(shù)的單調性。
3、本題考查的是復合函數(shù)根的存在情況。
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識點,需要掌握單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較才能正確解答此題.

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