Question

17．已知A，B是單位圓上的兩點，O為圓心，且∠AOB=90°，MN是圓O的一條直徑，點C在圓內，且滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 運用向量的加減運算可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．再由MN是圓O的一條直徑，三點共線的斜率表示，可得C在AB線段上，那么C在AB中點時，運用三角形AOB為等腰直角三角形，求得AB，可得OC的最小值，即可得到所求最小值．

解答 解由題意可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．
由于MN是一條直徑，可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-1×1=-1，
要求$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值，問題就是求$\overrightarrow{OC}$²的最小值，
由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
可得C在AB線段上，那么C在AB中點時，
由三角形AOB為等腰直角三角形，可得AB=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$最小，
此時$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的最小值為$\frac{1}{2}$-0-1=-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，三點共線的向量表示，兩個向量的數量積的運算，考查運算能力，屬于中檔題．