Question

9．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）e^x（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）設(shè)g（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$•lnx+e²，若a＞-$\frac{3}{8}$，是否?x₁∈（0，2），使得?x₂∈（0，2），有f（x₁）=g（x₂）成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]•e^x，可設(shè)g（x）=ax²+（2a+1）x+1，要找f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，只要找使g（x）≥0的區(qū)間即可，這樣可討論a：a=0時(shí)，g（x）=x+1，從而得出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，+∞），而a≠0時(shí)，可找使得二次函數(shù)g（x）≥0的區(qū)間即可；
（2）由題意便知，要存在這樣的x₁，需讓f（x）在（0，2）上的值域包含g（x）在（0，2）上的值域，從而根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，分別求出g（x），f（x）在（0，2）上的值域，然后判斷是否滿足包含關(guān)系即可．

解答 解：（1）f′（x）=[ax²+（2a+1）x+1]•e^x，設(shè)g（x）=ax²+（2a+1）x+1；
①若a=0，則g（x）=x+1；
∴x≥-1時(shí)，f′（x）≥0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-1，+∞）；
②若a≠0，解g（x）=0得，$x=\frac{-（2a+1）±\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$；
1）a＞0時(shí)，x$≤\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$，或$x≥\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$時(shí)，g（x）≥0，∴f′（x）≥0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$（-∞，\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}]$，[$\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$，+∞）；
2）a＜0時(shí)，$\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$$≤x≤\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$時(shí)，g（x）≥0，∴f′（x）≥0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}，\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$]；
（2）根據(jù)題意知，f（x）在（0，2）上的值域包含g（x）在（0，2）上的值域；
g′（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{2x}$；
∴$0＜x＜\frac{1}{\sqrt{2}}$時(shí)，g′（x）＞0，$\frac{1}{\sqrt{2}}＜x＜2$時(shí)，g′（x）＜0；
∴$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$時(shí)，g（x）取最大值$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}ln2+{e}^{2}$，而x趨向0時(shí)，g（x）趨向-∞；
∴g（x）在（0，2）上的值域?yàn)椋?∞，$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}ln2+{e}^{2}$]；
①當(dāng)$-\frac{3}{8}＜a＜0$時(shí)，$\frac{-（2a+1）-\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜0$，$0＜\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜2$；
∴由①知，$0＜x＜\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}$時(shí)，f′（x）＞0，$\frac{-（2a+1）+\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜x＜2$時(shí)，f′（x）＜0；
而x趨向0或2時(shí)，f（x）都不趨向于負(fù)無(wú)窮；
∴不滿足f（x）在（0，2）上的值域包含g（x）在（0，2）上的值域；
②當(dāng)a=0時(shí)，由（1）知f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的值域?yàn)椋?，2e²），不滿足條件；
③當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{-（2a+1）±\sqrt{4{a}^{2}+1}}{2a}＜0$；
∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；
∴f（x）的值域?yàn)椋?，（4a+2）e²），不滿足條件；
∴綜上得，不存在x₁∈（0，2），使得任意x₂∈（0，2），有f（x₁）=g（x₂）．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)找函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，二次函數(shù)的符號(hào)和對(duì)應(yīng)一元二次方程實(shí)數(shù)根的關(guān)系，解一元二次方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域的方法和過(guò)程，注意不要漏了a=0的情況．