Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：面PAB⊥平面PDC；
（3）求直線BD與平面PCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）可取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，并連接PO，OG，根據(jù)已知條件即可說(shuō)明OA，OG，OP三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)PA=1，從而可確定圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{PA}$的坐標(biāo)，根據(jù)共線向量基本定理即可說(shuō)明$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{PA}$，從而得出EF∥PA，根據(jù)線面平行的判定定理即可得出EF∥平面PAD；
（2）根據(jù)已知條件可得到PA⊥PD，并且有CD⊥平面PAD，從而根據(jù)線面垂直及面面垂直的判定定理即可得出平面PAB⊥平面PDC；
（3）可說(shuō)明$\overrightarrow{PA}$為平面PCD的法向量，并設(shè)直線BD與平面PCD所成角的大小為θ，然后根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BD}＞|$即可求出sinθ，從而得出θ．

解答 解：（1）證明：如圖，取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)G，連接PO，OG，PA=PD，∴PO⊥AD；
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，PO?側(cè)面PAD；
∴PO⊥底面ABCD，又ABCD為正方形，O，G分別為AD，BC中點(diǎn)；
∴OA，OG，OP三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=1，則根據(jù)條件可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
O（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），$B（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}，0）$，$C（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}，0）$，D（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），E（$-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），F(xiàn)（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）；
∴$\overrightarrow{EF}=（\frac{\sqrt{2}}{4}，0，-\frac{\sqrt{2}}{4}）$，$\overrightarrow{PA}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，0，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}$；
∴$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{PA}$；
∴EF∥PA，PA?平面PAD，EF?平面PAD；
∴EF∥平面PAD；
（2）根據(jù)PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AD$便得，∠APD=90°，即PA⊥PD；
又CD⊥平面PAD，PA?平面PAD；
∴CD⊥PA，即PA⊥CD，PD∩CD=D；
∴PA⊥平面PDC，PA?平面PAB；
∴平面PAB⊥平面PDC；
（3）根據(jù)（2）PA⊥平面PCD；
∴$\overrightarrow{PA}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，0，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$為平面PCD的法向量，$\overrightarrow{BD}$=（$-\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0$）；
設(shè)直線BD與平面PCD所成角為θ，則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BD}＞|$=$\frac{1}{1•2}=\frac{1}{2}$；
∴θ=30°；
∴直線BD和平面PCD所成角的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直、面面垂直的判定定理，以及共線向量基本定理，線面平行的判定定理，平面法向量的概念，向量夾角的余弦公式．