Question

18．某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建一個(gè)矩形的健身室（如圖所示），ABCD是一個(gè)標(biāo)出為50m的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分，其半徑為40m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G，M分別在AB和AD上，H在$\widehat{EF}$上，設(shè)矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ．
（I）請(qǐng)將S表示為θ的函數(shù)，并指出當(dāng)點(diǎn)H在$\widehat{EF}$的何處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積是多少？
（Ⅱ）由上面函數(shù)建立的思想，試求$f（x）=x\sqrt{4-{x^2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）延長(zhǎng)GH交CD于N，則NH=40sinθ，CH=40cosθ，求出S的表達(dá)式，通過換元法，利用正弦函數(shù)的有界性求解即可．
（II）設(shè)x=2cosθ，θ∈[0，π]，三角換元?jiǎng)t函數(shù)化求解函數(shù)的最值．

解答 解：（I）延長(zhǎng)GH交CD于N，則NH=40sinθ，CH=40cosθ，
∴HM=ND=50-40cosθ，AM=50-40sinθ，
故S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）
=$100[{25-20（{sinθ+cosθ}）+16sinθcosθ}]（{0≤θ≤\frac{π}{2}}）$．
令$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，則$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，且$t∈[{1，\sqrt{2}}]$∴$S=100[{25-20t+8{{（{t-1}）}^2}}]=800{（{t-\frac{5}{4}}）^2}+450$
又$t∈[{1，\sqrt{2}}]$，∴當(dāng)t=1時(shí)，S_max=500，此時(shí)$\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）=1⇒sin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∵$\frac{π}{4}≤θ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}∴θ+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，即θ=0或$θ=\frac{π}{2}$；
（II）設(shè)x=2cosθ，θ∈[0，π]，三角換元?jiǎng)t函數(shù)化為$y=2cosθ•\sqrt{4-{{（{2cosθ}）}^2}}=2cosθ•2sinθ=2sin2θ$，
∴y_max=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用，換元法求解函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．