Question

第29屆奧運會在北京舉行．設數(shù)列a_n=log_n+1（n+2）（n∈N），定義使a₁，a₂，a₃，…，a_k為整數(shù)的實數(shù)k為奧運吉祥數(shù)，則在區(qū)間[1，2008]內的所有奧運吉祥數(shù)之和為

2026

．

Answer 1

分析：先利用對數(shù)的運算性質求出實數(shù)k，再對所有實數(shù)k值進行分組求和．

解答：解：a_n=log_n+1（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

，
a₁•a₂•a₃…a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

．
由題意知k+2=2²，2³，…，2¹⁰，
∴k=2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴S=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9=

4(1-29)

1-2

-18=2026．
故答案為：2026．

點評：本題是對數(shù)列的概念及簡單表示法及對數(shù)運算性質及分組求數(shù)列和的綜合考查，是基礎題．