Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n+2，求滿足方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用,數列與函數的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項，結合等差數列的性質及通項公式可求q，a₁，從而可求通項
（2）由已知可求b_n，結合等差數列的求和公式及二次函數的性質可求S_n的最小值．

解答： 解：（1）由已知a₁a₃=4得，a₂²=4，2（a²q+1）=a₂+a₂q²，
∵a_n＞0，∴a₂=2，2（2q+1）=2+2q²
∴q=2，a₁=1
∴a_n=2^n-1，
（2）b_n=log₂a_n+2=n+1，

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
由

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

，
可得：

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

25

51

即

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，
解得：n=100．

點評：本題考查等比數列的通項公式的求法，數列求和的方法，數列與函數相結合，考查分析問題解決問題的能力．