如圖為某校語言類專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績(百分制)分布直方圖,已知80~90分數(shù)段的學員數(shù)為21人
(Ⅰ)求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90~95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)n;
(Ⅱ)現(xiàn)欲將90~95分數(shù)段內(nèi)的n名畢業(yè)生分配往甲、乙、丙三所學校,若向?qū)W校甲分配兩名畢業(yè)生,且其中至少有一名男生的概率為
3
5
,求n名畢業(yè)生中男女各幾人(男女人數(shù)均至少兩人)?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的結(jié)論下,設(shè)隨機變量ξ表示n名畢業(yè)生中分配往乙學校的三名學生中男生的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望.
考點:離散型隨機變量及其分布列,頻率分布直方圖,離散型隨機變量的期望與方差
專題:概率與統(tǒng)計
分析:(Ⅰ)先求出其不意80~90分數(shù)段的畢業(yè)生的頻率,再求出畢業(yè)生的總?cè)藬?shù),由此利用90~95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率,從而能求出90~95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù).
(Ⅱ)90:95分數(shù)段內(nèi)共6名畢業(yè)生,設(shè)其中男生z名,女生為6-x名設(shè)分配往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件A,由P(A)=1-
C
2
6-x
C
2
6
=
3
5
,能求出6名畢業(yè)生中有男生2人,女生4人.
(Ⅲ)ξ表示n名畢業(yè)生中分配往甲學校的兩名學生中男生的人數(shù),ξ的取值可以為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出ξ的分布列和隨機變量ξ數(shù)學期望.
解答: 解:(Ⅰ)80~90分數(shù)段的畢業(yè)生的頻率為:
p1=(0.04+0.03)×5=0.35,
此分數(shù)段的學員總數(shù)為21人,
∴畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)N為N=
21
0.35
=60,
90~95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為:
p2=1-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×5=0.1,
∴90~95分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)n=60×0.1=6.
(Ⅱ)90:95分數(shù)段內(nèi)共6名畢業(yè)生,設(shè)其中男生z名,女生為6-x名
設(shè)分配往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件A,
則P(A)=1-
C
2
6-x
C
2
6
=
3
5

解得x=2或x=9(舍去),
即6名畢業(yè)生中有男生2人,女生4人.…(8分)
(Ⅲ)ξ表示n名畢業(yè)生中分配往甲學校的兩名學生中男生的人數(shù),
所以ξ的取值可以為0,1,2,
當ξ=0時,P(ξ=0)=
C
3
4
C
3
6
=
1
5

當ξ=1時,P(ξ=1)=
C
1
2
C
2
4
C
3
6
=
3
5
,
當ξ=2時,P(ξ=2)=
C
2
2
C
1
4
C
3
6
=
1
5
,
所以ξ的分布列為
ξ012
P
1
5
3
5
1
5
所以隨機變量ξ數(shù)學期望為Eξ=
1
5
+1×
3
5
+2×
1
5
=1.…(12分)
點評:本題考查頻率直方圖的應用,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,解題時要認真審題,是中檔題.
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3-x
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(2)若bn=log2an+2,求滿足方程
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
=
25
51
的n的值.

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