Question

已知函數f（x）=x²+ax+b，且不等式|f（x）|≤2|x²-x-2|對一切x∈R恒成立，則不等式x²+ax+b＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：將不等式的右端式子進行因式分解，根據絕對值不等式的性質即可得到f（x）的兩個根，然后求不等式的解集即可得到結論．

解答： 解：∵不等式|f（x）|≤2|x²-x-2|對一切x∈R恒成立，
∴等價為|f（x）|≤2|（x+1）（x-2）|對一切x∈R恒成立，
∴|f（-1）|≤2|（-+1）（-1-2）|=0，
|f（2）|≤2|（2+1）（2-2）|=0，
即f（-1）=0，f（2）=0，
即x=-1或x=2是方程f（x）=0的兩個根，
∴不等式x²+ax+b＜0的解集為（-1，2），
故答案為：（-1，2），

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，利用絕對值不等式的性質求出f（x）的解是解決本題的根據．