Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在正實(shí)數(shù)k，使對(duì)任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2012型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出x=0時(shí)f（0）=0，x＜0的表達(dá)式f（x）=2a-|x+a|，然后由f（x）為R上的“2012型增函數(shù)”，對(duì)x分x=0，x＞0，x＜0三種情況討論，注意運(yùn)用a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）min，x＜0時(shí)，還要對(duì)x+2012分x+2012＞0，x+2012＜0討論，求出a的范圍，最后再求它們的交集．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x-a|-2a，
∴f（x）=

|x-a|-2a，x＞0 0，x=0 2a-|x+a|，x＜0

，
又f（x）為R上的“2012型增函數(shù)”，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x+2012）=f（2012）=|2012-a|-2a，f（0）=0，
由f（2012）＞f（0）解得：a＜

2012

3

；
當(dāng)x＞0時(shí)，由定義有|x+2012-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2012-a|＞|x-a|，
兩邊平方，整理得：a＜1006+x，從而a≤1006；
當(dāng)x＜0時(shí)，分兩類研究：
（1）若x+2012＜0，即x＜-2012，則有-|x+2012+a|+2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|＞|x+2012+a|，兩邊平方，整理得：a＜-1006-x，
∵-x＞2012，∴a≤1006；
（2）若x+2012＞0，則有|x+2012-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2012-a|＞4a，
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，由于|x+a|+|x+2012-a|≥|-a-a+2012|=|2a-2012|，故有|2a-2012|＞4a，
必有2012-2a＞4a，解得a＜

1006

3

；
綜上，對(duì)x∈R都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a＜

1006

3

，
即a的取值范圍是（-∞，

1006

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問題，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，同時(shí)考查分類討論數(shù)學(xué)思想，注意討論全面，最后求交集，本題是一道難題．