已知過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F斜率是1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若
AF
=2
FB
，則橢圓的離心率是
 
．
分析：設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A（m，m-c），B（ n，n-c），由
AF
=2
FB
 得 m+2n=3c ①，再根據(jù)橢圓的第二定義，
AF
FB
=2=
a2
c
-m
a2
c
-n
，可得 2n-m=
a2
c
  ②，由①②解得 m 和 n的值，再代入橢圓的第二定義，e=
BF
d
=
(n-c)2+ (n-c-0)2
a2
c
-n
=
2
-
2
e2
3-3e2
，解方程求得e的值．
解答：解：右焦點(diǎn)F（c，0），直線的方程為  y-0=x-c． 設(shè) A（m，m-c），B（ n，n-c），
由
AF
=2
FB
 得 （c-m，c-m）=2 （n-c，n-c），∴c-m=2（n-c），m+2n=3c ①．
再根據(jù)橢圓的第二定義，
AF
FB
=2=
a2
c
-m
a2
c
-n
，∴2n-m=
a2
c
  ②，
由①②解得   m=
3c2-a2
2c
，n=
3c2+a2
4c
．
據(jù)橢圓的第二定義，e=
BF
d
=
(n-c)2+ (n-c-0)2
a2
c
-n
=
2
n-
2
c
a2
c
-n
 
=
2
a2-
2
c2
3a2-3c2
=
2
-
2
e2
3-3e2
，
∴3e3-3e-
2
e2+
2
=0，（e2-1）•（3e-
2
 ）=0．∵0＜e＜1，
∴e=
2
3
，故橢圓的離心率是 
2
3
，故答案為 
2
3
．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖已知，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且
AF1
•
AF2
=0，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若a=
2
，b=1，求
F1A
•
F1B
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P，離心率e=
6
3
，長軸長為4
3
；點(diǎn)M為拋物線y2=6x上一動點(diǎn)，過M作拋物線的切線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）若∠APB為鈍角，試求直線AB的斜率范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A（-a，0）作直線1交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q，若△AOP是等腰三角形，且
PQ
=2
QA
，則橢圓的離心率為
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：黃州區(qū)模擬 題型：填空題

已知過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F斜率是1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若
AF
=2
FB
，則橢圓的離心率是______．

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