已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上有一點P，∠F1PF2=，且△PF1F2的面積為3，求橢圓的方程．
【答案】分析：根據(jù)點P是橢圓的左支上的一點，及雙曲線的定義可知|PF2|+|PF1|=2a，由，∠F1PF2=，且△PF1F2的面積為3，可以求得|PF2|•|PF1|的值，根據(jù)余弦定理可以求得a，c的一個方程，雙曲線的離心率為2，根據(jù)雙曲線的離心率的定義式，可以求得a，c的一個方程，解方程組即可求得該橢圓的方程．
解答：解：設(shè)橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），F(xiàn)1（-c，0）、F2（c，0）．
因為點P在橢圓上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，
即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）
又因S△PF1F2=3，所以|PF1|•|PF2|sin=3，得|PF1|•|PF2|=12．
所以4c2=4a2-36，又e==，
故a2=25，c2=16，b2=9，
∴所求橢圓的方程為+=1．…（12分）
點評：此題是個中檔題．考查橢圓的定義和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，及利用余弦定理解圓錐曲線的焦點三角形，解題過程注意整體代換的方法，簡化計算．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，且經(jīng)過點M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合，圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長，已知點A（x，y）為圓C上的一點．
（1）求橢圓的標準方程和圓的標準方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O為坐標原點）的取值范圍；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓上點P(3
2
，4)到兩焦點的距離之和是12，則橢圓的標準方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，焦距為6
3
，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，坐標原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為
2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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