【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a1=a(a∈R),an+1= ,n∈N*;
(1)若0<an≤6,求證:0<an+1≤6;
(2)若a=5,求S2016;
(3)若a= (m∈N*),求S4m+2的值.
【答案】
(1)解:當(dāng)an∈(0,3]時(shí),則an+1=2an∈(0,6],
當(dāng)an∈(3,6]時(shí),則an+1=an﹣3∈(0,3],
故an+1∈(0,6],
所以當(dāng)0<an≤6時(shí),總有0<an+1≤6
(2)解:a1=a=5時(shí),a2=a1﹣3=2,a3=2a2=4,a4=a3﹣3=1,a5=2a4=2,a6=2a5=4,a7=a6﹣3=1,
∴數(shù)列{an}5,2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,
∴從2項(xiàng)起,以3為周期的數(shù)列,其和為2+4+1=7,
∴S2016=5+7×671+2+4=4708
(3)解:由m∈N*,可得2m﹣1≥1,故a= ≤3,
當(dāng)1<k≤m時(shí),2k﹣1a≤ = < =3.
故ak=2k﹣1a且am+1=2ma.又am+1= >3,
所以am+2=am+1﹣3=2ma﹣3=2m ﹣3=a.
故S4m+2=S4(m+1)﹣a4m+3﹣a4m+4=4(a1+a2+…+am+1)﹣(2m﹣1+2m)a
=4(1+2+…+2m)a﹣3×2m﹣1a=4(2m+1﹣1)a﹣3×2m﹣1a
=(2m+3﹣3﹣3×2m﹣1)a=
【解析】(1)分當(dāng)an∈(0,3]時(shí)和當(dāng)an∈(3,6]時(shí),分別求出an+1的范圍,得到要證的不等式.(2)根據(jù)遞推公式得到,數(shù)列{an}5,2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,從2項(xiàng)起,以3為周期的數(shù)列,即可求出答案.(3)通過解不等式判斷出項(xiàng)的取值范圍,從而判斷出項(xiàng)之間的關(guān)系,選擇合適的求和方法求出和.
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)F,C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求C的方程;
(2)過F作直線l,交C于A,B兩點(diǎn),若直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)若曲線y=f(x)過點(diǎn)P(1,﹣1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1 , x2 , 求證:x1x2>e2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC 是圓 O 的直徑,點(diǎn) B 在圓 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC交 AC 于點(diǎn) M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)證明:EM⊥BF;
(2)求平面 BEF 與平面ABC 所成的二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)y=f (x)的定義域?yàn)镈,如果存在非零常數(shù)T,對于任意 x∈D,都有f(x+T)=Tf (x),則稱函數(shù)y=f(x)是“似周期函數(shù)”,非零常數(shù)T為函數(shù)y=f( x)的“似周期”.現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題:
①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為﹣1,那么它是周期為2的周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)=x是“似周期函數(shù)”;
③函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)”;
④如果函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”,那么“ω=kπ,k∈Z”.
其中是真命題的序號是 . (寫出所有滿足條件的命題序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列An(an , bn)(n∈N*)均為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象上,點(diǎn)列Bn(n,0)滿足|AnBn|=|AnBn+1|,若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,則a的取值范圍為( )
A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1, )
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x+2 sin(x+ )cos(x﹣ )﹣cos2x﹣ .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在[﹣ , π]上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程。
(2)求出直線l與曲線C相交后的弦長.
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