Question

9．已知方程x²+px+q=0與方程x²+（p-3）x+2q+1=0分別都有兩個不等的實根，若他們的解集分別為A，B，且A∪B={1，2，5}，求p，q，A，B．

Answer 1

分析 兩方程分別有兩個不相等的實數(shù)根，而根的并集只有3個元素，則兩方程有一公共根．分類討論能求出p，q，A，B．

解答 解：兩方程分別有兩個不相等的實數(shù)根，而根的并集只有3個元素，則兩方程有一公共根．
分類討論：
（1）公共根為1時，x=1分別代入兩方程：
$\left\{\begin{array}{l}{p+q+1=0}\\{p-3+2q+1+1=0}\end{array}\right.$，解得p=-3，q=2，
兩方程變?yōu)椋?br />x²-3x+2=0 解得x=1或x=2
x²-6x+5=0 解得x=1或x=5
滿足題意．
（2）公共根為2時，x=2分別代入兩方程：
$\left\{\begin{array}{l}{4+2p+q=0}\\{4+2p-6+2q+1=0}\end{array}\right.$，解得p=-$\frac{9}{2}$，q=5，
第一個方程變?yōu)椋?br />2x²-9x+10=0 解得x=2或x=$\frac{5}{2}$，不滿足題意，舍去．
（3）公共根為5時，x=5分別代入兩方程：
$\left\{\begin{array}{l}{25+5p+q=0}\\{25+5p-15+2q+1=0}\end{array}\right.$，解得p=-$\frac{39}{5}$，q=14，
第一個方程變?yōu)椋?br />5x²-39x+70=0 解得x=5或x=$\frac{14}{5}$，不滿足題意，舍去．
綜上，得
p=-3，q=2，A={1，2}，B={1，5}．

點評 本題考查集合中的參數(shù)及集合的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意并集性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．