Question

5．若存在兩個正實數(shù)x、y，使得等式x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為a＜0或a≥$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進行轉(zhuǎn)化，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：由x+a（y-2ex）（lny-lnx）=0得x+a（y-2ex）ln$\frac{y}{x}$=0，
即1+a（$\frac{y}{x}$-2e）ln$\frac{y}{x}$=0，
即設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則t＞0，
則條件等價為1+a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=$-\frac{1}{a}$有解，
設(shè)g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$為增函數(shù)，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴當(dāng)t＞e時，g′（t）＞0，
當(dāng)0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當(dāng)t=e時，函數(shù)g（t）取得極小值，為g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=$-\frac{1}{a}$有解，
則$-\frac{1}{a}$≥-e，即$\frac{1}{a}$≤e，
則a＜0或a≥$\frac{1}{e}$，
故答案為：a＜0或a≥$\frac{1}{e}$．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)相交問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．