Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）試判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）若，求在上的最大值；

（3）若，求函數(shù)在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)，為偶函數(shù)，當(dāng)，為非奇非偶函數(shù)；詳見(jiàn)解析

（2）最大值；

（3）.

【解析】

（1）時(shí)，利用定義可以判斷為偶函數(shù)，時(shí)，通過(guò)反例可判斷為非奇非偶函數(shù).

（2）利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的最大值.

（3）由題設(shè)可得，分類(lèi)討論求出在上的最小值后再取兩個(gè)最小值中的較小者即為的最小值.

（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>，故為偶函數(shù).

當(dāng)時(shí)，，而，

因?yàn)?/span>，故，又，

故為非奇非偶函數(shù).

綜上，時(shí)為偶函數(shù)，時(shí)，為非奇非偶函數(shù).

（2）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，.

又，

由基本不等式有，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.

（3）.

所以，其中.

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span> 故；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span> 故.

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，，

因?yàn)?/span>，故.

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，故，，

當(dāng)時(shí)，由，故.

當(dāng)時(shí)，由，故.

當(dāng)時(shí)，，故，，故.

綜上， .