Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，若（是與無(wú)關(guān)的常數(shù),）則稱數(shù)列叫做“弱等差數(shù)列”已知數(shù)列滿足：且,對(duì)于恒成立，（其中都是常數(shù)）

（1）求證：數(shù)列是“弱等差數(shù)列”，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

（2）當(dāng)時(shí)，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍

（3）若，且，數(shù)列滿足：，求

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）；（3）

【解析】

（1）由與已知等式作差可證得，從而證得結(jié)論；分別在和兩種情況下利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)，從而得到結(jié)果；

（2）由數(shù)列的單調(diào)性得到，從而得到恒成立的不等式，解不等式可求得結(jié)果；

（3）采用裂項(xiàng)相消的方式可得到；由極限的思想可得到，從而整理可得到，代入通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.

（1）由得：

為常數(shù) 數(shù)列為“弱等差數(shù)列”

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則成等差數(shù)列，公差為

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則成等差數(shù)列，公差為

綜上所述：

（2）當(dāng)，時(shí)，

是單調(diào)遞增數(shù)列

由得：；由得：

綜上所述：的取值范圍為

（3）