【題目】已知正方體的棱長為1P是空間中任意一點(diǎn),下列正確命題的個(gè)數(shù)是(

①若P為棱中點(diǎn),則異面直線APCD所成角的正切值為

②若P在線段上運(yùn)動,則的最小值為;

③若P在半圓弧CD上運(yùn)動,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為

④若過點(diǎn)P的平面與正方體每條棱所成角相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

根據(jù)異面直線的夾角求解,棱錐外接球的求解,以及正方體截面的性質(zhì),對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

對于①,如圖所示,

,可知即為異面直線AECD所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,連接BE,則在中,,

,故正確

對于②,將三角形與四邊形沿展開到同一個(gè)平面上,如圖所示.

由圖可知,線段的長度即為的最小值.

中,利用余弦定理可得,故錯(cuò)誤.

對于③,如下圖所示:

當(dāng)P中點(diǎn)時(shí),三棱錐體積最大,

此時(shí),三棱錐的外接球球心是AC中點(diǎn),

半徑為﹐其表面積為.故正確.

對于④﹐平面與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等,

只需與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可,如圖所示:

.則平面PQR與正方體過點(diǎn)A的三條棱所成的角相等.

若點(diǎn)E,FG,H,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn),

可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六邊形EFGHMN為正六邊形.

正方體棱長為1,所以正六邊形EFGHMN的邊長為,

可得此正六邊形的面積為,為截面最大面積.

故正確的命題有3個(gè).

故選:C.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,為線段的中點(diǎn),且.

1)求證:平面;

2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】中,,.已知分別是的中點(diǎn).沿折起,使的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:

1)證明:平面平面

2)求平面與平面所成二面角的大小.

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【題目】某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人,每人分別對兩個(gè)教師進(jìn)行評分,滿分均為100分,整理評分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組:,,,.得到甲教師的頻率分布直方圖,和乙教師的頻數(shù)分布表:

乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

3

3

15

19

35

25

1)在抽樣的100人中,求對甲教師的評分低于70分的人數(shù);

2)從對乙教師的評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人,求2人評分均在范圍內(nèi)的概率;

3)如果該校以學(xué)生對老師評分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn),則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評為年度該校優(yōu)秀教師?(精確到0.1

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【題目】在平行四邊形中,,,,EA的中點(diǎn)(如圖1),將沿CD折起到圖2的位置,得到四棱錐是

1)求證:平面PDA

2)若PD與平面ABCD所成的角為.且為銳角三角形,求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值.

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【題目】如圖所示,在頂角為圓錐內(nèi)有一截面,在圓錐內(nèi)放半徑分別為的兩個(gè)球與圓錐的側(cè)面、截面相切,兩個(gè)球分別與截面相切于,則截面所表示的橢圓的離心率為( )

(注:在截口曲線上任取一點(diǎn),過作圓錐的母線,分別與兩個(gè)球相切于點(diǎn),由相切的幾何性質(zhì)可知,,,于是,為橢圓的幾何意義)

A.B.C.D.

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【題目】如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,,,,側(cè)面底面,是以為底的等腰三角形.

(Ⅰ)證明:

(Ⅱ)若四棱錐的體積等于.問:是否存在過點(diǎn)的平面分別交于點(diǎn),使得平面平面?若存在,求出的面積;若不存在,請說明理由.

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【題目】環(huán)境問題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問題,我國環(huán)保總局根據(jù)空氣污染指數(shù)濃度,制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn):

空氣污染質(zhì)量

空氣質(zhì)量等級

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

某市政府為了打造美麗城市,節(jié)能減排,從2010年開始考查了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù),繪制了頻率分布直方圖,經(jīng)過分析研究,決定從2016111日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)重污染的日子對機(jī)動車輛限號出行,即車牌尾號為單號的車輛單號出行,車牌尾號為雙號的車輛雙號出行(尾號為字母的,前13個(gè)視為單號,后13個(gè)視為雙號).

1)某人計(jì)劃11月份開車出行,求因空氣污染被限號出行的概率;

2)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對空氣質(zhì)量的影響,對限行三年來的11月份共90天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其結(jié)果如表:

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

天數(shù)

16

39

18

10

5

2

根據(jù)限行前180天與限行后90天的數(shù)據(jù),計(jì)算并填寫列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).

空氣質(zhì)量優(yōu)良

空氣質(zhì)量污染

合計(jì)

限行前

限行后

合計(jì)

參考數(shù)據(jù):

其中

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