Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段的中點，且.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

(1)連接交于，連接，由三角形的中位線得，然后證明平面；

(2)以為原點，以向量所在直線為軸，過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，利用向量的數(shù)量積求解即可.

(1)連接交于，連接，

因為四邊形為正方形，所以為的中點，

又因為為線段的中點，所以，

因為平面，平面，

所以平面；

(2) 以為原點，以向量所在直線為軸，

過作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

則,

因為，所以，，

則，

在中：可知：，

又因為為線段的中點，所以，

設(shè)平面的法向量為，則

即令，則，，

即，

又因為平面的法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為