【題目】已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,動點M(2,t)().
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求以OM為直徑且截直線所得的弦長為2的圓的方程;
(3)設F是橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,證明線段ON的長為定值,并求出這個定值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意將點的坐標代入橢圓方程中得到,同時聯(lián)立即可得到的值,即橢圓的方程;(2)根據(jù)題意所求圓心為的中點,半徑為
,利用圓心到直線的距離為,得到關于的方程,得到所求圓的方程;(3)根據(jù)題意過點作的垂線,垂足設為及平面幾何知識得到: ,設直線的方程為: 與的直線方程聯(lián)立求得,進而求得得到的長為定值.
試題解析:(1)由題意得,又由橢圓經(jīng)過點P,得,又聯(lián)立解得,所以橢圓的方程為;
(2)以為直徑的圓的圓心為,半徑,所以圓M的方程為。依題意,解得所以所求圓的方程為;
(3)過點作的垂線,垂足設為,由平面幾何知識知,直線的方程為,則直線的方程為由,得,故
,所以線段的長為定值.
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【題目】有下列說法:①若,,則;②若2=,分別表示的面積,則;③兩個非零向量,若||=||+||,則與共線且反向;④若,則存在唯一實數(shù)使得,其中正確的說法個數(shù)為()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】隨機擲兩枚質地均勻的骰子,它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點數(shù)之和大于5的概率記為p2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3
C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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【題目】已知關于x的函數(shù),其導函數(shù).
(1)如果函數(shù)在x=1處有極值試確定b、c的值;
(2)設當時,函數(shù)圖象上任一點P處的切線斜率為k,若,求實數(shù)b的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,橢圓過點,直線交軸于,且, 為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設是橢圓的上頂點,過點分別作直線交橢圓于兩點,設這兩條直線的斜率分別為,且,證明:直線過定點.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.若曲線C的極坐標方程為ρcos2θ﹣4sinθ=0,P點的極坐標為 ,在平面直角坐標系中,直線l經(jīng)過點P,斜率為
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;
(Ⅱ)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,求 的值.
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【題目】如圖,多面體EF﹣ABCD中,ABCD是正方形,AC、BD相交于O,EF∥AC,點E在AC上的射影恰好是線段AO的中點.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)若直線AE與平面ABCD所成的角為60°,求平面DEF與平面ABCD所成角的正弦值.
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【題目】農(nóng)科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況,從甲、乙兩種麥苗的試驗田中各抽取6株麥苗測量麥苗的株高,數(shù)據(jù)如下:(單位:cm)
甲:9,10,11,12,10,20
乙:8,14,13,10,12,21.
(1)在給出的方框內(nèi)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖;
(2)分別計算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數(shù)與方差,并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況.
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