Question

3．如圖所示，線段MN是⊙O₁和⊙O₂的公共弦，AN是⊙O₂的切線，過M點的直線分別交⊙O₁和⊙O₂于B，C兩點，交AN于點D．
（1）證明：$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{NC}$；
（2）若CN是⊙O₁的切線，且ND=6，MC=5，AD=2，求CN的長．

Answer 1

分析 （1）先證AB∥CN，可得△ABD∽△NCD，即可證明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{NC}$；
（2）利用切割線定理求出DM，BD，根據(jù)CN是⊙O₁的切線，利用切割線定理，求CN的長．

解答 證明：（1）∵AN是⊙O₂的切線，
∴∠ANM=∠C，
∵∠ANM=∠ABD，
∴∠ABD=∠C，
∴AB∥CN，
∴△ABD∽△NCD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{NC}$；
解：（2）∵DN是⊙O₂的切線，
∴DN²=DM•（DM+MC），
∴6²=DM•（DM+5），
∴DM=4，
∵AD•DN=BD•DM，
∴BD=3，
∴CB=12，
∵CN是⊙O₁的切線，
∴CN²=CM•CB=5×12=60，
∴CN=2$\sqrt{15}$．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．