Question

曲線C₁：y=

1

2

e^x關(guān)于直線y=x對(duì)稱得曲線C₂，動(dòng)點(diǎn)P在C₁上，動(dòng)點(diǎn)Q在C₂上，則|PQ|最小值為（　�。�

• A、1-ln2
• B、

  2

  （1-ln2）
• C、1+ln2
• D、

  2

  （1+ln2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)關(guān)于y=x，求出函數(shù)的反函數(shù)，利用曲線關(guān)于y=x對(duì)稱的性質(zhì)，只要求出P到直線y=x的距離的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：y=

1

2

e^x關(guān)于直線y=x對(duì)稱得曲線C₂，
∴由y=

1

2

e^x，得e^x=2y，
即x=ln2y，
∴函數(shù)y=

1

2

e^x的反函數(shù)為y=ln2x，即曲線C₂：y=ln2x，
則要使|PQ|取得最小值，
則只需y=

1

2

e^x，上的點(diǎn)到直線y=x的距離最小即可，
y′=f′（x）=

1

2

e^x，
由y′=f′（x）=

1

2

e^x=1，
得e^x=2，解得x=ln2，即切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為ln2，此時(shí)y=y=

1

2

e^ln2=1，
即P（ln2，1），則P到直線y=x的距離d=

|ln2-1|

2

=

(1-ln2) 2

2

，
∴|PQ|最小值=2d=

2

（1-ln2），
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩點(diǎn)間距離的求法，利用函數(shù)y=x的對(duì)稱性，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．