如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．
（1）證明：△ABD中
∵AB=AD=
2
，O是BD中點，BD=2
∴AO⊥BD且AO=
AB2-BO2
=1
△BCD中，連結(jié)OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且CO=
BC2-BO2
=
3

△AOC中AO=1，CO=
3
，AC=2
∴AO2+CO2=AC2故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD
（2）取AC中點F，連結(jié)OF、OE、EF
△ABC中E、F分別為BC、AC中點
∴EF∥AB，且EF=
1
2
AB=
2
2

△BCD中O、E分別為BD、BC中點
∴OE∥CD且OE=
1
2
CD=1
∴異面直線AB與CD所成角等于∠OEF（或其補角）
又OF是Rt△AOC斜邊上的中線
∴OF=
1
2
AC=1
∴等腰△OEF中cos∠OEF=
1
2
EF
OE
=
2
4
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點．
（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時異面直線AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BB1=2，AB=
2
，BC=1，∠BCC1=
π
3

（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC1（不包含端點C，C1）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，PD=AD=DC=2AB，則異面直線PA與BC所成角的余弦值為（　�。�
A．
15
5
B．
10
5
C．-
10
5
D．
10
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，E是DD1的中點．
（1）求證：AC⊥B1D；
（2）若B1D⊥平面ACE，求
AA1
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得幾何體B-ACD
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點D到面ABC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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同步練習(xí)冊答案