如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時異面直線AE和CH所成的角．
（1）證明：∵四邊形ABCD為棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，
連接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，
∴∠EHA為EH與平面PAD所成的角，
在Rt△EAH中，AE=
3
，所以當(dāng)AH最短時，即AH⊥PD時，EH與平面PAD所成的角∠EHA最大，
此時tan∠EHA=l
因此AH=AC1∥面CDB1．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．
此時異面直線AE和CH異面直線所成角30°．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D為CC1的中點，
CC1
AC
=λ
（1）λ為何值時，A1D⊥平面ABD；
（2）當(dāng)A1D⊥平面ABD時，求C1到平面ABD的距離；
（3）當(dāng)二面角A-BD-C為60°時，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側(cè)棱BB1的中點．
（I）求證：直線AE⊥平面A1D1E；
（II）求三棱錐A-A1D1E的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAA1=60°，AA1=2AC，BC⊥平面AA1C1C．
（1）證明：A1C⊥AB；
（2）設(shè)BC=AC=2，求三棱錐C-A1BC1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，點E，F(xiàn)分別是BB1，B1D1中點，求證：EF⊥DA1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC=BB1，D為AB的中點．
（1）求證：BC1⊥平面AB1C；
（2）求證：BC1∥平面A1CD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體AC′中，AB=AC=a，BB′=b（b＞a），連接BC′，過點B′作B′E⊥BC′交CC′于E．
（1）求證：AC′⊥平面EB′D′；
（2）求三棱錐C′-B′D′E的體積．

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