Question

盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球．規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得-1分．現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球．
（Ⅰ）求取出的3個(gè)球顏色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件為從9個(gè)球中任取3個(gè)球有C₉³種結(jié)果，而滿(mǎn)足條件取出的3個(gè)球顏色互不相同有C₂¹C₃¹C₄¹種結(jié)果，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．
（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件為從9個(gè)球中任取3個(gè)球有C₉³種結(jié)果，而滿(mǎn)足條件取出的3個(gè)球得分之和恰為1分有兩種結(jié)果，包括取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球和取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球，它們之間是互斥事件，
（3）ξ為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，由題意知ξ可能的取值為0，1，2，3．根據(jù)古典概型公式和試驗(yàn)包含的結(jié)果，得到白球個(gè)數(shù)不同是對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，做出期望．

解答：（Ⅰ）解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件為從9個(gè)球中任取3個(gè)球有C₉³種結(jié)果，
而滿(mǎn)足條件取出的3個(gè)球顏色互不相同有C₂¹C₃¹C₄¹種結(jié)果，
記“取出1個(gè)紅色球，1個(gè)白色球，1個(gè)黑色球”為事件A，
∴由古典概型公式得到P(A)=

C 1 2 C 1 3 C 1 4

C 3 9

=

2

7

．

（Ⅱ）解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件為從9個(gè)球中任取3個(gè)球有C₉³種結(jié)果，
而滿(mǎn)足條件取出的3個(gè)球得分之和恰為1分有兩種種結(jié)果，
包括取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球和取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球
記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B，有C₂¹C₃²種結(jié)果．
“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，有C₂²C₄¹種結(jié)果，
其中它們之間是互斥事件，
∴P(B+C)=P(B)+P(C)=

C 1 2 C 2 3

C 3 9

+

C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

5

42

．

（Ⅲ）解：ξ可能的取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

，P(ξ=1)=

C 1 3 C 2 6

C 3 9

=

45

84

，
P(ξ=2)=

C 2 3 C 1 6

C 3 9

=

3

14

，P(ξ=3)=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

．
ξ的分布列為：

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

5

21

+1×

45

84

+2×

3

14

+3×

1

84

=1．

點(diǎn)評(píng)：期望表示隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的平均值，它是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)．解完此例題后歸納求離散型隨機(jī)變量期望的步驟：①確定離散型隨機(jī)變量 的取值．②寫(xiě)出分布列，并檢查分布列的正確與否．③求出期望．