Question

【題目】已知平行四邊形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示：

（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD的中點(diǎn)，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，

又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD與平面BCD的交線，

∴AB⊥面BCD，

∵CD平面BCD，∴AB⊥CD．

（2）解：以B為原點(diǎn)，在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸，

BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（0，0，0），C（1，1，0），

D（0，1，0），A（0，0，1），M（0， ），

，

面ABM的法向量為 =（1，0，0），

設(shè)平面BMC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，1），

cos＜ ＞= = = ，

觀察知二面角A﹣BM﹣C為鈍角，

故二面角A﹣BM﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導(dǎo)出AB⊥BD，從而AB⊥面BCD，由此能證明AB⊥CD．（2）以B為原點(diǎn)，在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸，BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．