Question

15．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∠ACB=90°，$AC=\sqrt{2}，BC=C{C_1}=1，P$是BC₁上一動(dòng)點(diǎn)，則A₁P+PC的最小值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個(gè)平面內(nèi)，不難看出CP+PA₁的最小值是A₁C的連線．（在BC₁上取一點(diǎn)與A₁C構(gòu)成三角形，因?yàn)槿�角形兩邊和大于第三邊）由余弦定理即可求解�?/p>

解答 解：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，
連A₁C，則A₁C的長(zhǎng)度就是所求的最小值．
BC₁=$\sqrt{2}$，A₁C₁=$\sqrt{2}$，A₁B=2，通過計(jì)算可得∠A₁C₁P=90°
又∠BC₁C=45°
∴∠A₁C₁C=135°
由余弦定理可求得A₁C=$\sqrt{2+1-2×\sqrt{2}×1×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．